Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp       12. Mai 2025
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31.

Nichtlineare dynamische Systeme.

(a)

Bestimmen Sie den Fluss zu dem nichtlinearen System $$\begin{array}{rcll}ẋ& =& -x& \\ ẏ& =& y+x^2& \end{array}$$

mit gesuchter Funktion $t\mapsto (x(t),y(t))\in {ℝ}^2$, indem Sie dieses Differentialgleichungssystem lösen. (3 Punkte)

(b)

Definiere nun die Abbildung $$\begin{array}{rcll}h:{ℝ}^2& \to & {ℝ}^2& \\ (x,y)& \mapsto & (x,y+\frac{x^2}{3}).& \end{array}$$

Zeigen Sie, dass diese Abbildung $h$ eine topologische Flussäquivalenz zwischen dem nichtlinearen System aus $(a)$ und dem linearen ${ℝ}^2$-wertigen System $ż=\mathit{𝐴𝑧}$ liefert. Hierbei ist die Matrix $A$ definiert durch $A:=\left(\begin{array}{cc}\hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)$. (4 Punkte)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/3lyagzrnfo

32.

Das Mathematische Pendel.
Gegeben sei die Schwingungsgleichung des Mathematischen Pendels mit Reibung

$$ẍ=-ẋ-g\cdot \sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x).$$

(32.1)

Die gesuchte Funktion $t\mapsto x(t)\in ℝ$ ist der Winkel von Senkrechte. Die physikalische Bedeutung der Konstanten $g$ ist die Fallbeschleunigung; die andere Konstanten (Masse, Reibung) haben wir als $1$ gesetzt. Die ODE zweiter Ordnung kann in ein erste Ordnung System transformiert werden:

$$\frac{d}{\mathit{𝑑𝑡}}y=\frac{d}{\mathit{𝑑𝑡}}\left(\begin{array}{c}\hfill x\hfill \\ \hfill ẋ\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\hfill x\hfill \\ \hfill ẋ\hfill \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill -g\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\hfill \end{array}\right)=f(y)$$

(32.2)

mit $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$.

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/0fudamvgn4

(a)

Zeigen Sie, dass zu jedem Anfangswert $y(0)=y_0\in {ℝ}^2$ eine (globale) Lösung $t\mapsto y(t)$ von (32.2) auf dem Intervall $[0,\infty )$ existiert. (1 Punkt)

(b)

Warum sind $y=\left(\begin{array}{c}\hfill \mathit{𝜋𝑘}\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right)$ für $k\in \mathbb{Z}$ Ruhelagen? Wie interpretiert man diese Lage? (2 Punkte)

(c)

Nehmen wir an, dass $g>1$. Also die Fallbeschleunigung ist stärker als die Reibung. Untersuchen Sie die Ruhelagen auf Stabilität (stabil, instabil, asymptotisch stabil). (4 Punkte)

(d)

Was ändert sich, falls $0<g\le 1$ ist? (2 zusätzliche Punkte)

33.

Stabilitätsuntersuchungen.
Gegeben sei das autonome System $$\begin{array}{llll}\hfill ẋ& =\mathit{𝑎𝑥}+x^2+y^2,& \hfill & \\ \hfill ẏ& =\mathit{𝑏𝑥}-y+\mathit{𝑥𝑦}.& \hfill & \end{array}$$

mit $a,b\in ℝ$, $a\le 0$ und gesuchter Funktion $t\mapsto (x(t),y(t))\in {ℝ}^2$.

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/l53lzzdfoe

(a)

Zeigen Sie, dass im Fall $a<0$ der Nullpunkt eine asymptotisch stabile Ruhelage ist.
(3 Punkte)

(b)

Man beweise oder widerlege, dass die Behauptung in (a) auch im Fall $a=0$ gilt. (3 Punkte)