Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp       31. März 2025
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18.

Die Exponentialabbildung für Matrizen
Gegenstand dieser Aufgabe ist die Exponentialabbildung (für Matrizen), das heißt die Potenzreihe

$$e^A:=\exp <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(A):=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{A}^k\text{für Matrizen }A\in {ℂ}^{n\times n}\text{,}$$

die wir etwa bei der Lösung von linearen Differentialgleichungssystemen mit konstanten Koeffizienten benötigen werden. Sei $A\in {ℂ}^{n\times n}$. Wenn Sie es zu schwer finden, mit $n\times n$ Matrizen zu berechnen, dürfen Sie $n=5$ setzen. Zeigen Sie:

(a)

Basiswechsel. Ist $C\in \mathrm{GL}(n,ℂ)$, so gilt $\exp <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{𝐶𝐴}{C}^{-1})=C\cdot \exp <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(A)\cdot C^{-1}$. (2 Punkte)

(b)

Diagonalmatrizen. Ist $D=\mathrm{diag}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(c_1,\dots <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->,c_n)$ mit $c_1,\dots ,c_n\in ℂ$ eine Diagonalmatrix, so gilt $\exp <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(D)=\mathrm{diag}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(e^{c_1},\dots <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->,e^{c_n})$. (2 Punkte)

(c)

Nilpotente Matrizen. Sei

$$N=\left(\begin{array}{cccc}\hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \dots \hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill \ddots \hfill & \hfill \ddots \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill \ddots \hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \dots \hfill & \hfill \dots \hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)$$

eine nilpotente Matrix in Normalform. Man berechne $\exp <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(t\cdot N)$ für $t\in ℝ$. (2 Punkte)

[Tipp. Man kann diese Aufgabe angehen, indem man $N^2,N^3,\dots ,N^n$ ausrechnet.]

(d)

Jordan-Blöcke. Sei $\lambda \in ℂ$ und

$$J=\left(\begin{array}{cccc}\hfill \lambda \hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \dots \hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill \ddots \hfill & \hfill \ddots \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill \ddots \hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \dots \hfill & \hfill \dots \hfill & \hfill \lambda \hfill \end{array}\right)$$

ein Jordan-Block zum Eigenwert $\lambda$. Begründen Sie, dass $\exp <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(t\cdot J)=e^{\mathit{𝜆𝑡}}\exp <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(t\cdot (J-\mathit{𝜆𝟙}))$ für $t\in ℝ$. (1 Punkt)

19.

Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten
Lösen Sie die folgenden linearen Anfangswertprobleme und vereinfachen Sie die Lösung so weit wie möglich.

(a)

$\dot{u}(t)=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 5\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 5\hfill \end{array}\right)\cdot u(t)$ mit $u(3)=\left(\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill 2\hfill \end{array}\right)$. (2 Punkte)

(b)

$\dot{u}(t)=\left(\begin{array}{cc}\hfill 3\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill -1\hfill & \hfill 3\hfill \end{array}\right)\cdot u(t)$ mit $u(0)=\left(\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill 4\hfill \end{array}\right)$. (3 Punkte)

(c)

$y^{″}=-y$ mit $y(0)=1$ und $y^{\prime }(0)=0$. (3 Punkte)

20.

Lineare Systeme und Fundamentallösung
Seien $I\subseteq ℝ$ ein Intervall, $t_0\in I$ und $A:I\to {ℂ}^{2\times 2}$, sowie die Differentialgleichung

$$\dot{u}(t)=A(t)\cdot u(t)$$

(20.1)

gegeben. Seien $y_1$ bzw. $y_2$ (mit $y_1,y_2:I\to {ℂ}^2$) die (eindeutigen) Lösungen von (20.1), mit Anfangswerten

$$y_1(t_0)=\left(\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right)\text{bzw.}{y}_2(t_0)=\left(\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right).$$

Weiter sei $F:I\to {ℂ}^{2\times 2}$ die zugehörige Fundamentallösung von (20.1), d.h. die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems

$$Ḟ(t)=A(t)\cdot F(t),F(t_0)=𝟙.$$

(a)

Zeigen Sie: $F(t)=\left(y_1(t),y_2(t)\right)$, wobei $y_1,y_2$ Spaltenvektoren sind, die zusammen ein Matrix bilden. (2 Punkte)

(b)

Warum ist die Determinante von $F(t)$ nie Null? (3 Punkte)

21.

Fundamentallösung von nicht-autonomen Systemen
Es sei die (nicht-autonome) lineare Differentialgleichung

$$\dot{u}(t)=A(t)\cdot u(t)\text{für}A(t):=\left(\begin{array}{cc}\hfill 1\hfill & \hfill t\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 2\hfill \end{array}\right)$$

(21.1)

gegeben.

(a)

Kommutieren $A(t)$ und $A(s)$ für $t\ne s\in ℝ$? (1 zusätzlicher Punkt)

(b)

Bestimmen Sie die Fundamentallösung $F:ℝ\to {ℂ}^{2\times 2}$ von (21.1) zum Anfangszeitpunkt $t_0:=0$, d.h. die Lösung von

$$Ḟ(t)=A(t)\cdot F(t),F(0)=𝟙.\text{(3 zusätzliche Punkte)}$$

[Tipp: Zur Bestimmung von $F(t)$ betrachte man das zweidimensionale DGL-System (21.1) als System von zwei eindimensionalen Differentialgleichungen und löse diese eine-nach-der-anderen nach den bekannten Methoden. ]

(c)

Sei

$$M(t)={\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{t}A(s)\mathit{𝑑𝑠}=\left(\begin{array}{cc}\hfill t\hfill & \hfill \frac{1}{2}{t}^2\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 2t\hfill \end{array}\right).$$

Bestimmen Sie $\exp <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->M(t)$. (2 zusätzliche Punkte)