Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp       24. Februar 2025
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3.

Lösungen von Differentialgleichungen.

(a)

Sei $m\in ℝ$ mit $m>0$. Die Konstant $g$ ist $9,8m{s}^{-2}$, lassen Sie aber als $g$. Finden Sie eine Lösung $q$ für die Differentialgleichung $m{q}^{″}=-\mathit{𝑔𝑚}$ und mit $q(0)=10$ und $q^{\prime }(0)=0$. (2 Punkte)

(b)

Zeigen Sie: Für $\alpha ,A,B\in ℝ$ beliebig ist $y(t):=A\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{𝛼𝑡})+B\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{𝛼𝑡})$ eine Lösung der Differentialgleichung $y^{″}+{\alpha }^{2}y=0$. (1 Punkt)

(c)

Sei $f(t,u,u^{\prime }):=4u^{\prime }-3u-3t+4$. Zeigen Sie, dass $u(t)=A{e}^t+B{e}^{3t}-t$ mit $A,B\in ℝ$ eine Lösung der Differentialgleichung $u^{″}=f(t,u,u^{\prime })$ ist. Bestimmen Sie $A$ und $B$, sodass $u(0)=u^{\prime }(0)=0$ gilt. (4 Punkte)

(d)

Finden Sie eine Differentialgleichung, für die die Funktion $y(t)=A{e}^t+B{e}^{-t}+C$ für alle $A,B,C\in ℝ$ eine Lösung ist. (4 Punkte)

[Tipp: Man überlege zunächst, welche Ordnung die Differentialgleichung haben sollte. Dann berechne man $y^{\prime },y^{″},\dots$ und überlege, wie man die Parameter $A,B,C$ loswird.]

4.

Systeme von Differentialgleichungen.

(a)

Schreiben Sie das folgende System von Differentialgleichungen in die Form $Y^{\prime }(t)=\mathit{𝐴𝑌}(t)$. Geben Sie die Matrix $A$ hierbei explizit an. $$\begin{array}{llll}\hfill x^{\prime }(t)+x(t)+2y(t)+3z(t)& =0& \hfill & \\ \hfill y^{\prime }(t)-x(t)+z(t)& =0& \hfill & \\ \hfill 2z^{\prime }(t)-y(t)& =0.& \hfill \text{(2 Punkte)}\end{array}$$

(b)

Bringen Sie die skalare inhomogene lineare Differentialgleichung dritter Ordnung

$$y^{‴}(t)+a_2(t)y^{″}(t)+a_1(t)y^{\prime }(t)+a_0(t)y(t)=f(t)$$

mit $a_k,f:ℝ\to ℝ$, in die Form $Y^{\prime }(t)=A(t)Y(t)+b(t)$ eines Differentialgleichungssystems erster Ordnung in einer Vektorfunktion $Y(t)$. Geben Sie die von $t$ abhängige Matrix $A(t)$ sowie den Vektor $b(t)$ auch hier explizit an. (3 Punkte)

5.

Lineare Unabhängigkeit von Funktionen.

(a)

Seien $V$ ein Vektorraum und $v_1,\dots ,v_m\in V$. Geben Sie eine Definition für die lineare Unabhängigkeit dieser Vektoren. (1 Punkt)

(b)

Sei $I\subset ℝ$ ein Intervall und $y_1,\dots ,y_m:I\to ℝ$ Funktionen. Die Funktionen sind lineare Unabhängigkeit genauso wenn

$$\forall <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->t\in I,\sum _{k=1}^m{c}_k{y}_k(t)=0\Rightarrow c_1=c_2=\cdots =c_m=0.$$

Erklären Sie: Woher kommt $\forall <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->t$? Warum nicht $\exists <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->t$? (1 Punkt)

(c)

Zeigen Sie: $y_1(t)=t$ und $y_2(t)=t^2$ sind linear unabhängig. (1 Punkt)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/n1h5mzkucy

(d)

Zeigen Sie: $y_1(t)=\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->t$ und $y_2(t)=\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->t$ sind linear unabhängig. (1 Punkt)

(e)

Nehmen Sie an, dass $y_1$ und $y_2$ lineare abhängig sind, mit $c_1{y}_1(t)+c_2{y}_2(t)=0$ für alle $t$ und $(c_1,c_2)\ne (0,0)$. Dann muss $c_1{y}_1^{\prime }(t)+c_2{y}_2^{\prime }(t)=0$ für alle $t$ auch. Begründen Sie warum $y_1(t)y_2^{\prime }(t)-y_2(t)y_1^{\prime }(t)=0$.
(2 zusätzliche Punkte)

(f)

Benutzen Sie Teil (e) zu bewiesen, dass $e^t$ und $e^{2t}$ linear unabhängig sind. (1 Punkt)