Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp       17. Februar 2025
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1.

Zeitdiskrete dynamische Systeme
Ein zeitdiskretes dynamisches System ist eine stetige Abbildung

$$\mathrm{\Phi }:{\mathbb{N}}_0\times M\to M,$$

wobei $M$ ein metrischer Raum ist (hier typischerweise der ${ℝ}^n$), und für deren Familie von Abbildungen

$${\mathrm{\Phi }}_t:M\to M,{\mathrm{\Phi }}_t(m):=\mathrm{\Phi }(t,m)(t\in {\mathbb{N}}_0)$$

gilt, dass

$${\mathrm{\Phi }}_0=𝟙\text{ und }{\mathrm{\Phi }}_{t_1+t_2}={\mathrm{\Phi }}_{t_2}\circ {\mathrm{\Phi }}_{t_1}(t_1,t_2\in {\mathbb{N}}_0).$$

(a)

Sei $A:M\to M$ eine stetige Abbildung. Zeigen Sie, dass die Abbildung $\mathrm{\Phi }:{\mathbb{N}}_0\times M\to M$

$$\mathrm{\Phi }(t,m):=A^t(m)$$

ein zeitdiskretes dynamisches System definiert. $A^t(m)$ bedeutet die $t$-fachen Anwendung von $A$ auf $m$, z.B. $A^2(m)=A(A(m))$, und per Konvention ist $A^0(m)=m$. (2 Punkte)

(b)

Sei $\mathrm{\Phi }:{\mathbb{N}}_0\times M\to M$ ein zeitdiskretes dynamisches System. Beweisen sie durch Induktion, dass ${\mathrm{\Phi }}_t(m)=A^t(m)$, wobei $A(m)={\mathrm{\Phi }}_1(m)=\mathrm{\Phi }(1,m)$. (2 Punkte)

Bemerkung. Deshalb haben alle zeitdiskreten dynamischen Systeme die Form von (a).

(c)

Was ist die Definition von Orbit? (1 Punkt)

(d)

Betrachten Sie die Fibonacci-Folge, definiert durch

$$a_0:=0,a_1:=1\text{ und }{a}_{n+1}:=a_n+a_{n-1},n\ge 1.$$

Wir können die als eine zeitdiskrete dynamische System beschreiben. Seien $M={ℝ}^2$ und $A:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ die lineare Abbildung mit Matrix

$$A=\left(\begin{array}{cc}\hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right),\text{ und }{m}_0=\left(\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right).$$

Berechnen Sie $A(m_0)$, $A^2(m_0)$, $A^3(m_0)$ und $A^4(m_0)$. Was ist der Zusammenhang mit der Fibonacci-Folge? Warum muss $M$ 2-dimensional sein? (5 Punkte)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/req2uyge8k

(e)

Geben Sie eine explizite Formel für den Zustand des Systems von (d) zum Zeitpunkt $n\in \mathbb{N}$ an (3 Punkte)

[Tipp: Diagonalisieren Sie die lineare Abbildung $A$, um ihre Potenz zu berechnen. ]

(f)

Sei $l\in {\mathbb{N}}_0$ und $f:{ℝ}^{l+1}\to ℝ$ eine stetige Abbildung und ${(a_n)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ eine rekursiv definierte Folge, für die gilt:

$$a_0,\dots ,a_l\text{ sind vorgegeben und }{a}_{n+1}:=f(a_{n-l},\dots ,a_n)\text{ für }n\ge l.$$

Zeigen Sie, dass sich obige Rekursion als ein zeitdiskretes dynamisches System darstellen lässt. (2 Punkte)

2.

Periodische Orbits.
Sei $\alpha \in [0,1)$ gegeben. Definieren wir das zeitdiskrete dynamische System $\mathrm{\Phi }:\mathbb{Z}\times S^1\to S^1$ durch

$$(n,z)\mapsto \mathrm{\Phi }(n,z):=e^{2\mathit{𝜋𝑖𝛼𝑛}}z.$$

Hierbei wird der Phasenraum $M:=S^1=\{z\in ℂ\mid |z|=1\}$ mit den komplexen Zahlen vom Betrag $1$ identifiziert.

(a)

Was bedeutet periodisch? (1 Punkt)

(b)

Zeigen Sie für $\alpha \in \mathbb{Q}\cap [0,1)$, dass jeder Orbit periodisch ist. (2 Punkte)

(c)

Nehmen wir an, dass es $z_0\in S^1$ mit periodischem Orbit gibt. Zeigen Sie, dass $\alpha \in \mathbb{Q}$.
(2 Punkte)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/xttoeonoqy