Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp       26. Mai 2025
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38.

Erste Integrale
Sei $D\subseteq {ℝ}^n$ offen und $f:D\to {ℝ}^n$ lokal Lipschitz-stetig. Wir betrachten das autonome System

$$ẏ(t)=f(y(t)).$$

Eine stetig differenzierbare Funktion $H:D\to ℝ$ heißt erstes Integral zum System, wenn

$$\nabla <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->H(y)\cdot f(y)=0\text{für alle}y\in D.$$

Erste Integrale sind also insbesondere Lyapunov-Funktionen.

(a)

Sei $H:D\to ℝ$ ein erstes Integral. Zeigen Sie, dass $H$ längs jeder Trajektorie des dynamischen Systems konstant ist, d.h. $H(\mathrm{\Phi }(t;y_0))=H(y_0)$ für alle $y_0\in {ℝ}^n$ und alle $t$ aus dem jeweiligen maximalen Existenzintervall. Mit $t\mapsto \mathrm{\Phi }(t;y_0)$ bezeichnen wir jeweils die Lösung zum Anfangswert $y(0)=y_0$. (1 Punkt)

(b)

Für den Rest der Aufgabe betrachten wir das autonome System $$\begin{array}{llll}\hfill ẋ& =y& \hfill & \\ \hfill ẏ& =2x-4x^3& \hfill & \end{array}$$

mit gesuchter Lösungsfunktion $t\mapsto (x(t),y(t))\in {ℝ}^2$. Bestimmen Sie ein Polynom $H:{ℝ}^2\to ℝ$, das $\frac{\mathit{\partial 𝐻}}{\mathit{\partial 𝑥}}=4x^3-2x$ und $\frac{\mathit{\partial 𝐻}}{\mathit{\partial 𝑦}}=y$ erfüllt und zeigen Sie das diese Funktion ein erstes Integral ist.
(2 Punkte)

(c)

Bestimmen Sie alle Ruhelagen des Systems und untersuchen Sie sie auf Stabilität (stabil, instabil, asymptotisch stabil). (4 Punkte)

(d)

Zeigen Sie, dass alle Niveaumengen von $H$ kompakt sind und folgern Sie daraus, dass alle Lösungen auf ganz $ℝ$ existieren. (3 Punkte)

(e)

Sei $(x_0,y_0)\in {ℝ}^2$ so, dass in der Niveaumenge $N:=\{(x,y)\in {ℝ}^2:H(x,y)=H(x_0,y_0)\}$ keine Ruhelagen enthalten sind. Zeigen Sie: Für alle $(x,y)\in N$ gibt es eine offene Umgebung $U\subset {ℝ}^2$ von $(x,y)$ und ein $𝜖>0$, so dass

$$U\cap N=\{\mathrm{\Phi }(t,(x,y)):t\in (-𝜖,𝜖)\}$$

gilt. (3 Punkte)

(f)

Seien $(x_0,y_0)$ und $N$ wie in Teil (e). Zeigen Sie mit Hilfe von Teil (d), dass für alle $(x,y)\in N$ die Limesmenge ${\omega }^{+}(x,y)$ nicht leer ist, und dann mit Teil (e), dass der Orbit zu $t\mapsto \mathrm{\Phi }(t,(x,y))$ periodisch ist. (3 Punkte)

(g)

Sei $(x_0,y_0)\in {ℝ}^2$ beliebig und $N$ wie in (e) mit dem Zusatz, dass $N$ nun auch Ruhelagen enthalten darf. Begründen Sie kurz, dass für $N$ je einer der folgenden 4 Fälle in Abhängigkeit von $(x_0,y_0)$ auftritt und charakterisieren Sie diese 4 Fälle durch die Werte von $H(x_0,y_0)$ (z.B. “Fall 1 $\iff H(x_0,y_0)>0$” usw.):

• Fall 1: $N$ besteht aus einem periodischen Orbit (und ist insbesondere zusammenhängend).
• Fall 2: $N$ besteht aus zwei periodischen Orbits.
• Fall 3: $N$ besteht aus drei Orbits, wovon einer eine Ruhelage ist.
• Fall 4: $N$ besteht aus zwei Ruhelagen.

Skizzieren Sie nun mit dieser Kenntnis und dem Wissen aus den vorherigen Aufgabenteilen das Phasenportrait zum System. (4 Punkte)