Dynamische Systeme und Stabilität
12. Übung
Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp 19. Mai
2025
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mit gesuchter Funktion .
Zeigen Sie: Für ist der Nullpunkt obigen Systems eine asymptotisch stabile Ruhelage und für ist der Nullpunkt eine instabile Ruhelage. (4 Punkte)
| (36.1) |
Sei eine stetig differenzierbare Lyapunov-Funktion zum System (36.1). Beweisen Sie folgendes Kriterium für Instabilität: Falls zusätzlich
erfüllt und es in jeder Umgebung von einen Punkt gibt, in dem einen negativen Wert annimmt, dann ist die Ruhelage von (36.1) instabil. (5 Punkte)
[Tipp: Nehmen Sie an, wäre stabil und führen Sie einen Widerspruchsbeweis: Zeigen Sie dazu, dass für geeignete Anfangswerte die positiven Halborbits der zugehörigen Lösung in einer in kompakten Menge enthalten sind, und für gilt.]
mit gesuchter Lösungsfunktion . Zeigen Sie durch Konstruktion einer geeigneten Lyapunov-Funktion, dass der Nullpunkt eine instabile Ruhelage obigen Systems ist. (3 Punkte)