Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp       19. Mai 2025
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34.

Die Lorenz-Gleichungen.
Seien $\sigma ,r$ und $b$ positive Konstanten. Die Lorenz-Gleichungen lauten $$\begin{array}{llll}\hfill ẋ& =\sigma (y-x),& \hfill & \\ \hfill ẏ& =\mathit{𝑟𝑥}-y-\mathit{𝑥𝑧},& \hfill & \\ \hfill ż& =\mathit{𝑥𝑦}-\mathit{𝑏𝑧}.& \hfill & \end{array}$$

mit gesuchter Funktion $t\mapsto (x(t),y(t),z(t))\in {ℝ}^3$.

Zeigen Sie: Für $0<r<1$ ist der Nullpunkt obigen Systems eine asymptotisch stabile Ruhelage und für $r>1$ ist der Nullpunkt eine instabile Ruhelage. (4 Punkte)

Desmos in 3D!

35.

Das Mathematische Pendel: Episode V – Das Pendel schlaukelt zurück.
Wir haben schon das Pendel mit Reibung gesehen:

$$\frac{\mathit{𝑑𝑦}}{\mathit{𝑑𝑡}}=F(y)=\left(\begin{array}{c}\hfill y_2\hfill \\ \hfill -y_2-g\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(y_1)\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\hfill y_1\hfill \\ \hfill y_2\hfill \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill -g\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(y_1)\hfill \end{array}\right).$$

(a)

Definieren Sie eine Ljapunovfunktion. (1 Punkt)

(b)

Zeigen Sie, dass die Energie $E(y)=\frac{1}{2}{y}_2^2-g\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(y_1)$ eine Ljapunovfunktion ist. (2 Punkte)

(c)

Seien $y_0=\left(\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right)$, das eine Ruhelage ist, und $U$ die zusammenhängende Umgebung von $y_0$ mit $E<0$. Zeigen Sie, dass $U\subset (-\sqrt{2g},\sqrt{2g})\times (-\pi ∕2,\pi ∕2)$. (2 Punkte)

(d)

Benutzen Sie Satz 2.31 um zu zeigen, dass $\left(\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right)$ eine stabile Ruhelage ist. (3 Punkte)

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36.

Ein Kriterium für Instabilität nach Lyapunov
Sei $D\subseteq {ℝ}^n$ offen mit $0\in D$ und $f:D\to {ℝ}^n$ lokal Lipschitz-stetig mit $f(0)=0$. Wir betrachten das autonome System

$$ẏ(t)=f(y(t)).$$

(36.1)

Sei $L:D\to ℝ$ eine stetig differenzierbare Lyapunov-Funktion zum System (36.1). Beweisen Sie folgendes Kriterium für Instabilität: Falls $L$ zusätzlich

$$\begin{array}{lll}\hfill L(0)=0,\nabla <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->L(0)\cdot f(0)=0& \text{und}\nabla <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->L(y)\cdot f(y)<0\text{für alle}y\in D\setminus \{0\}& \hfill \text{(36.2)}\end{array}$$

erfüllt und es in jeder Umgebung von $0\in D$ einen Punkt gibt, in dem $L$ einen negativen Wert annimmt, dann ist die Ruhelage $y^{\ast }\equiv 0$ von (36.1) instabil. (5 Punkte)

[Tipp: Nehmen Sie an, $y^{\ast }$ wäre stabil und führen Sie einen Widerspruchsbeweis: Zeigen Sie dazu, dass für geeignete Anfangswerte $y(0)=y_0$ die positiven Halborbits der zugehörigen Lösung $t\mapsto y(t)$ in einer in $D$ kompakten Menge enthalten sind, und $L(y(t))\to -\infty$ für $t\to \infty$ gilt.]

37.

Stabilitätsuntersuchung nach Lyapunov
Gegeben sei das autonome System $$\begin{array}{llll}\hfill ẋ& =-y+x^3& \hfill & \\ \hfill ẏ& =x+y^3& \hfill & \end{array}$$

mit gesuchter Lösungsfunktion $t\mapsto (x(t),y(t))\in {ℝ}^2$. Zeigen Sie durch Konstruktion einer geeigneten Lyapunov-Funktion, dass der Nullpunkt $(0,0)\in {ℝ}^2$ eine instabile Ruhelage obigen Systems ist. (3 Punkte)