Dynamische Systeme und Stabilität
12. Übung

Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp       19. Mai 2025
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34.
Die Lorenz-Gleichungen.
Seien σ,r und b positive Konstanten. Die Lorenz-Gleichungen lauten = σ(y x), = 𝑟𝑥 y 𝑥𝑧, ż = 𝑥𝑦 𝑏𝑧.

mit gesuchter Funktion t(x(t),y(t),z(t)) 3.

Zeigen Sie: Für 0 < r < 1 ist der Nullpunkt obigen Systems eine asymptotisch stabile Ruhelage und für r > 1 ist der Nullpunkt eine instabile Ruhelage. (4 Punkte)

Desmos in 3D!

35.
Das Mathematische Pendel: Episode V – Das Pendel schlaukelt zurück.
Wir haben schon das Pendel mit Reibung gesehen:
𝑑𝑦 𝑑𝑡 = F(y) = ( y2 y2 gsin(y1) ) = ( 0 1 0 1 ) ( y1 y2 ) + ( 0 gsin(y1) ).
(a)
Definieren Sie eine Ljapunovfunktion. (1 Punkt)
(b)
Zeigen Sie, dass die Energie E(y) = 1 2y22 gcos(y1) eine Ljapunovfunktion ist. (2 Punkte)
(c)
Seien y0 = ( 0 0 ), das eine Ruhelage ist, und U die zusammenhängende Umgebung von y0 mit E < 0. Zeigen Sie, dass U (2g,2g) × (π2,π2). (2 Punkte)
(d)
Benutzen Sie Satz 2.31 um zu zeigen, dass ( 0 0 ) eine stabile Ruhelage ist. (3 Punkte)


Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/gsd3onuvfz

36.
Ein Kriterium für Instabilität nach Lyapunov
Sei D n offen mit 0 D und f : D n lokal Lipschitz-stetig mit f(0) = 0. Wir betrachten das autonome System

(t) = f(y(t)).
(36.1)

Sei L : D eine stetig differenzierbare Lyapunov-Funktion zum System (36.1). Beweisen Sie folgendes Kriterium für Instabilität: Falls L zusätzlich

L(0) = 0, L(0) f(0) = 0 undL(y) f(y) < 0für alley D {0} (36.2)

erfüllt und es in jeder Umgebung von 0 D einen Punkt gibt, in dem L einen negativen Wert annimmt, dann ist die Ruhelage y 0 von (36.1) instabil. (5 Punkte)

[Tipp: Nehmen Sie an, y wäre stabil und führen Sie einen Widerspruchsbeweis: Zeigen Sie dazu, dass für geeignete Anfangswerte y(0) = y0 die positiven Halborbits der zugehörigen Lösung ty(t) in einer in D kompakten Menge enthalten sind, und L(y(t)) für t gilt.]

37.
Stabilitätsuntersuchung nach Lyapunov
Gegeben sei das autonome System = y + x3 = x + y3

mit gesuchter Lösungsfunktion t(x(t),y(t)) 2. Zeigen Sie durch Konstruktion einer geeigneten Lyapunov-Funktion, dass der Nullpunkt (0,0) 2 eine instabile Ruhelage obigen Systems ist. (3 Punkte)