Dynamische Systeme und Stabilität
11. Übung

Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp       12. Mai 2025
______________________________________________________________________________________________________________________________

31.
Nichtlineare dynamische Systeme.
(a)
Bestimmen Sie den Fluss zu dem nichtlinearen System = x = y + x2

mit gesuchter Funktion t(x(t),y(t)) 2, indem Sie dieses Differentialgleichungssystem lösen. (3 Punkte)

(b)
Definiere nun die Abbildung h : 2 2 (x,y) (x,y + x2 3 ).

Zeigen Sie, dass diese Abbildung h eine topologische Flussäquivalenz zwischen dem nichtlinearen System aus (a) und dem linearen 2-wertigen System ż = 𝐴𝑧 liefert. Hierbei ist die Matrix A definiert durch A := ( 1 0 0 1 ). (4 Punkte)


Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/3lyagzrnfo

32.
Das Mathematische Pendel.
Gegeben sei die Schwingungsgleichung des Mathematischen Pendels mit Reibung

= g sin(x).
(32.1)

Die gesuchte Funktion tx(t) ist der Winkel von Senkrechte. Die physikalische Bedeutung der Konstanten g ist die Fallbeschleunigung; die andere Konstanten (Masse, Reibung) haben wir als 1 gesetzt. Die ODE zweiter Ordnung kann in ein erste Ordnung System transformiert werden:

d 𝑑𝑡y = d 𝑑𝑡 ( x ) = ( 0 1 0 1 ) ( x )+ ( 0 g sin x ) = f(y)
(32.2)

mit f : 2 2.

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/0fudamvgn4

(a)
Zeigen Sie, dass zu jedem Anfangswert y(0) = y0 2 eine (globale) Lösung ty(t) von (32.2) auf dem Intervall [0,) existiert. (1 Punkt)
(b)
Warum sind y = ( 𝜋𝑘 0 ) für k Ruhelagen? Wie interpretiert man diese Lage? (2 Punkte)
(c)
Nehmen wir an, dass g > 1. Also die Fallbeschleunigung ist stärker als die Reibung. Untersuchen Sie die Ruhelagen auf Stabilität (stabil, instabil, asymptotisch stabil). (4 Punkte)
(d)
Was ändert sich, falls 0 < g 1 ist? (2 zusätzliche Punkte)
33.
Stabilitätsuntersuchungen.
Gegeben sei das autonome System = 𝑎𝑥 + x2 + y2, = 𝑏𝑥 y + 𝑥𝑦.

mit a,b , a 0 und gesuchter Funktion t(x(t),y(t)) 2.

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/l53lzzdfoe

(a)
Zeigen Sie, dass im Fall a < 0 der Nullpunkt eine asymptotisch stabile Ruhelage ist.
(3 Punkte)
(b)
Man beweise oder widerlege, dass die Behauptung in (a) auch im Fall a = 0 gilt. (3 Punkte)