Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp       5. Mai 2025
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28.

Phillips Modell mit Beschleuniger

Wir betrachten ein dynamisches System mit stetiger Zeit, in dem wir die Beziehung zwischen dem Produkt $Y$ und der (induzierten) Investition $I$ beschreiben durch

$$I^{\prime }(t)=-k(I(t)-v{Y}^{\prime }(t)),k,v>0$$

Die Entwicklungsgeschwindigkeit des Produkts $Y$ sei proportional zu der Differenz zwischen der Produktmenge und der Nachfrage $Z$:

$$Y^{\prime }(t)=-\lambda (Y(t)-Z(t)),\lambda >0$$

Die Nachfrage $Z(t)$ bestehe aus drei Komponenten: Konsum $C(t)$, autonome Investition $A$ (von $t$ unabhängig) und induzierte Investition $I(t)$, es ist also $Z(t)=C(t)+A+I(t)$. Zusätzlich soll der Konsum ein fester Anteil des Produktes sein, $C(t)=\mathit{𝑐𝑌}(t),0<c<1$. Dieses Modell bezeichnet man als Phillips Modell mit Beschleuniger.

(a)

Leiten Sie eine Differentialgleichung für $Y^{″}(t)$ her. (Die rechte Seite darf keine Terme mehr enthalten, die von $I(t)$ abhängen, kombinieren Sie dazu die obigen Gleichungen.) (2 Punkte)

(b)

Berechnen Sie die Ruhelage dieses dynamischen Systems, indem Sie die Differentialgleichung aus (a) zunächst in ein System 1. Ordnung transformieren. (2 Punkte)

(c)

Zeigen Sie, dass die Ruhelage aus (b) genau dann asymptotisch stabil ist, wenn die Parameter $\lambda ,k,v,c$ die Bedingung $\lambda (1-c)+k-\mathit{𝜆𝑘𝑣}>0$ erfüllen. (4 Punkte)

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29.

Topologische Flussäquivalenz

Wir betrachten die linearen ${ℝ}^2$-wertigen autonomen Systeme $ẋ=\mathit{𝐴𝑥}$ und $ẏ=-𝟙\cdot y$, wobei ersteres durch

$$A:=-\alpha \cdot 𝟙\in {ℝ}^{2\times 2}$$

für $\alpha >0$ gegeben sei.

(a)

Geben Sie explizit eine Abbildung $h:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ an, so dass die beiden Systeme $ẋ=\mathit{𝐴𝑥}$ und $ẏ=-\mathit{𝟙𝑦}$ topologisch flussäquivalent sind, d.h.

$$h(e^{\mathit{𝑡𝐴}}x)=e^{-t}h(x)\text{für alle}t\in ℝ,x\in {ℝ}^2.$$

Betrachten Sie dazu ein $h(x)$ von der Form $h(x)=x|x{|}^{\gamma }$ mit einem zu bestimmenden $\gamma$ in Abhängigkeit von $\alpha$ (mit $\text{|⋅|}$ ist hier die euklidische Norm gemeint). (1 Punkt)

(b)

Zeigen Sie, dass die in (a) gefundene Funktion $h$ tatsächlich ein Homöomorphismus ist, indem Sie die Umkehrabbildung $h^{-1}$ von $h$ explizit bestimmen. Zum Nachweis der Stetigkeit von $h$ bzw. $h^{-1}$ genügt der Nachweis der Stetigkeit jeweils bei Null. Für alle von Null verschiedenen Werte darf die Stetigkeit als offensichtlich angenommen werden. (3 Punkte)

[Tipp: Für das Finden von $h^{-1}$ mache man ebenfalls den Ansatz $h^{-1}(x)=x|x{|}^{\delta }$ mit einem zu bestimmenden $\delta$ in Abhängigkeit von $\gamma$. Sie dürfen in Teil (b) mit einem beliebigen $\gamma >-1$ rechnen.]

(c)

In diesem Teil wollen wir eine Alternative zur Bestimmung der Funktion $h$ aus Teil (a) angeben: Bestimmen Sie die Funktion $h$ aus Teil (a) mit Hilfe von Lemma 2.13 und Lemma 2.14 aus der Vorlesung. (4 Punkte)

[Tipp: Für die Norm $\parallel \cdot {\parallel }_A$ in Lemma 2.13 dürfen Sie die euklidische Norm verwenden. Bestimmen Sie zunächst die Umkehrabbildung von $\widehat{\mathrm{\Phi }}$ aus Lemma 2.13 und berechnen Sie dann explizit die Abbildung $\mathrm{\Psi }$ aus dem Beweis von Lemma 2.14.]

30.

Transformation autonomer Systeme
Gegeben sei das autonome System

$$y^{\prime }(t)=f(y(t))$$

(30.1)

mit einer auf einer offenen Menge $D\subset {ℝ}^n$ definierten lokal Lipschitz-stetigen Funktion $f:D\to {ℝ}^n$. Sei ferner $t\mapsto ỹ(t)$ eine auf dem Intervall $[0,\infty )$ existierende fixierte Lösung von (30.1). Wir betrachten das durch $ỹ$-translatierte System

$$x^{\prime }(t)=f(x(t)+ỹ(t))-f(ỹ(t)).$$

(30.2)

Zeigen Sie:

(a)

Die transformierte nicht-autonome Differentialgleichung (30.2) besitzt die triviale Lösung $\tilde{x}\equiv 0$.
(1 Punkt)

(b)

die Lösung $ỹ$ von (30.1) (asymptotisch) stabil ist, wenn die triviale Lösung $\tilde{x}$ von (30.2) (asymptotisch) stabil ist. (3 Punkte)