Dynamische Systeme und Stabilität
10. Übung
Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp 5. Mai
2025
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Wir betrachten ein dynamisches System mit stetiger Zeit, in dem wir die Beziehung zwischen dem Produkt und der (induzierten) Investition beschreiben durch
Die Entwicklungsgeschwindigkeit des Produkts sei proportional zu der Differenz zwischen der Produktmenge und der Nachfrage :
Die Nachfrage bestehe aus drei Komponenten: Konsum , autonome Investition (von unabhängig) und induzierte Investition , es ist also . Zusätzlich soll der Konsum ein fester Anteil des Produktes sein, . Dieses Modell bezeichnet man als Phillips Modell mit Beschleuniger.
Wir betrachten die linearen -wertigen autonomen Systeme und , wobei ersteres durch
für gegeben sei.
Betrachten Sie dazu ein von der Form mit einem zu bestimmenden in Abhängigkeit von (mit ist hier die euklidische Norm gemeint). (1 Punkt)
[Tipp: Für das Finden von mache man ebenfalls den Ansatz mit einem zu bestimmenden in Abhängigkeit von . Sie dürfen in Teil (b) mit einem beliebigen rechnen.]
[Tipp: Für die Norm in Lemma 2.13 dürfen Sie die euklidische Norm verwenden. Bestimmen Sie zunächst die Umkehrabbildung von aus Lemma 2.13 und berechnen Sie dann explizit die Abbildung aus dem Beweis von Lemma 2.14.]
| (30.1) |
mit einer auf einer offenen Menge definierten lokal Lipschitz-stetigen Funktion . Sei ferner eine auf dem Intervall existierende fixierte Lösung von (30.1). Wir betrachten das durch -translatierte System
| (30.2) |
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