Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp       28. April 2025
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26.

Stabilität aufgrund negativen Realteils
Die Aussage, dass 0 eine Senke ist, wenn alle Eigenwerte einer Matrix $A\in {ℝ}^{n\times n}$ negativen Realteil haben, gilt nur für von $t$ unabhängige $A$. Wir betrachten hierzu die Differentialgleichung $ẋ(t)=A(t)x(t)$ mit

$$A(t):=\left(\begin{array}{cc}\hfill -1+\frac{3}{2}{\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2(t)\hfill & \hfill 1-\frac{3}{2}\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(t)\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(t)\hfill \\ \hfill -1-\frac{3}{2}\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(t)\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(t)\hfill & \hfill -1+\frac{3}{2}{\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2(t)\hfill \end{array}\right)$$

(a)

Berechnen Sie die Eigenwerte von $A(t)$ und zeigen Sie, dass diese negativen Realteil haben.
(4 Punkte)

(b)

Zeigen Sie, dass eine Lösung der Differentialgleichung gegeben ist durch

$$x(t)=e^{t∕2}\left(\begin{array}{c}\hfill -\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(t)\hfill \\ \hfill \sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(t)\hfill \end{array}\right).\text{(3 Punkte)}$$

(c)

Zeigen Sie, dass die Ruhelage $x\equiv 0$ des Systems $ẋ(t)=A(t)\cdot x(t)$ nicht attraktiv ist. (2 Punkte)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/d592xwxjfo

27.

Stabilität inhomogener linearer Systeme
In Analogie zu Definition 2.1 definieren wir die Stabilität von Lösungen autonomer Systeme (dies ist gewissermaßen eine Verallgemeinerung von Definition 2.1 auf Nicht-Ruhelagen): Sei $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ lokal Lipschitz-stetig und betrachte das autonome System

$$y^{\prime }=f(y).$$

(27.1)

Eine auf $[0,\infty )$ definierte Lösung $y$ von (27.1) heißt stabil, wenn es zu jedem $𝜖>0$ ein $\delta >0$ gibt, so dass alle Lösungen $z$ von (27.1) mit $z(0)\in B(y(0),\delta )$ für alle $t\ge 0$ existieren und $z(t)\in B(y(t),𝜖)$ für alle $t\ge 0$ gilt.
Eine Lösung $y$ von (27.1) heißt attraktiv, wenn es ein $\delta >0$ gibt, so dass alle Lösungen $z$ von (27.1) mit $z(0)\in B(y(0),\delta )$ für alle $t\ge 0$ existieren und $\underset{t\to \infty }{\lim <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}\parallel z(t)-y(t)\parallel =0$.
Die Begriffe instabil und asymptotisch stabil sind wie in Def. 2.1 definiert.

Seien $A\in {ℝ}^{n\times n}$ und $b\in {ℝ}^n$. Zeigen Sie:

(a)

Ist $ỹ\equiv 0$ asymptotisch stabile Lösung des homogenen Systems $y^{\prime }(t)=A\cdot y(t)$, so strebt jede Lösung des homogenen Systems (unabhängig von der Größe des Anfangswerts) gegen Null für $t\to \infty$. (3 Punkte)

(b)

Eine beliebige Lösung des inhomogenen Systems $y^{\prime }(t)=A\cdot y(t)+b$ ist (asymptotisch) stabil genau dann, wenn $ỹ\equiv 0$ (asymptotisch) stabile Lösung für das homogene System $y^{\prime }(t)=A\cdot y(t)$ ist. (6 Punkte)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/hsuvphgmfn