Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp       7. April 2025
______________________________________________________________________________________________________________________________

22.

Beispiele zur Stabilität

In allen unteren Beispielen ist $z_0=0$ ein Fixpunkt.

(a)

Sei $\mathrm{\Phi }:ℝ\times ℂ\to ℂ$ der Fluss $\mathrm{\Phi }(t,z)=e^{-t}z$. Beschreiben Sie die Trajektorie von $z_1=1$. Beweisen Sie, dass $z_0$ attraktiv ist. (3 Punkte)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/vfo3xmoesq

(b)

Sei $\mathrm{\Phi }:ℝ\times ℂ\to ℂ$ der Fluss $\mathrm{\Phi }(t,z)=e^{\mathit{𝑖𝑡}}z$. Beschreiben Sie die Trajektorie von $z_1=1$. Beweisen Sie, dass $z_0$ stabil ist. (3 Punkte)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/rzxgvywrcw

(c)

Sei $\mathrm{\Phi }:ℝ\times ℂ\to ℂ$ der Fluss $\mathrm{\Phi }(t,z)=e^{t}z$. Beschreiben Sie die Trajektorie von $z_1=1$. Beweisen Sie, dass $z_0$ instabil ist. (3 Punkte)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/f9ffujpf58

(d)

In welcher Aufgabe dieses Kurses haben wir schon attraktive Fixpunkte gesehen? (1 Punkt)

23.

Stabilitätsuntersuchung von Ruhelagen
Untersuchen Sie, ob der Nullpunkt der folgenden linearen Systeme stabil, asymptotisch stabil oder instabil ist und skizzieren Sie die Phasenportraits (indem Sie zuvor die Differentialgleichungen allgemein lösen). Charakterisieren Sie ferner den Typ der Ruhelage $0$ (Quelle, Senke, Sattel, Knoten, Spirale usw.)

$$\mathbf{\text{(𝐚)}}{y}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}\hfill -1\hfill & \hfill -2\hfill \\ \hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)y,\mathbf{\text{(𝐛)}}{y}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}\hfill -1\hfill & \hfill -3\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill -2\hfill \end{array}\right)y\text{(6 Punkte)}$$

24.

Flüsse einer Differentialgleichung 2. Ordnung
Gegeben sei die Differentialgleichung 2. Ordnung

$$ẍ+2ẋ-\mathit{𝛼𝑥}=0$$

(24.1)

mit $\alpha \in ℝ$ und gesuchter Lösungsfunktion $x:ℝ\to ℝ$. Transformieren Sie die Gleichung (24.1) zunächst auf ein System erster Ordnung der Form

$$ẏ=f(y)$$

(24.2)

mit einer Funktion $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$. Charakterisieren Sie die Ruhelage $y\equiv 0$ (Spirale, Quelle, Senke, Knoten, Sattel usw.) in Abhängigkeit von $\alpha$ und skizzieren Sie das Phasenportrait für den Fall $\alpha =0$, indem Sie wie in Aufgabe 26 für den Fall $\alpha =0$ die Differentialgleichung (24.2) allgemein lösen. (4 Punkte)

25.

Floquettheorie
Wir betrachten in dieser Aufgabe die Differentialgleichung

$$u^{\prime }(t)=A(t)u(t),A(t)=\left(\begin{array}{cc}\hfill \cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(t)\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(t)\hfill \end{array}\right).$$

(25.1)

Die Matrix $A(t)$ ist periodisch mit Periode $2\pi$. Das Ziel dieser Aufgabe ist es, eine invertierbare Transformation $G:ℝ\to {ℂ}^{2\times 2}$ der Differentialgleichung zu bestimmen, so dass die resultierende Differentialgleichung $\dot{u}(t)=\mathit{Ã𝑢}(t)$ autonom ist.

(a)

Zeigen Sie, dass die Matrix

$$F(t)=\left(\begin{array}{cc}\hfill \exp <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(t))\hfill & \hfill t\exp <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(t))\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \exp <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\sin <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(t))\hfill \end{array}\right)$$

die Fundamentallösung von $F^{\prime }(t)=A(t)F(t)$ mit $F(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ ist. (2 zusätzliche Punkte)

(b)

Definieren Sie “Monodromie”. Prüfen Sie, dass $\exp <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\begin{array}{cc}0& 2\pi \\ 0& 0\end{array}\right)$ die Monodromie von $F(t)$ ist.
(2 zusätzliche Punkte)

(c)

Aus dem Beweis von Korollar 1.64 wissen wir, dass

$$Ã=B∕\omega =\left(\begin{array}{cc}\hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right).$$

Was ist die Fundamentallösung $\tilde{F}$ von ${ũ}^{\prime }=\mathit{Ãũ}$? (3 zusätzliche Punkte)

(d)

Berechnen Sie nun die Transformation $G:ℝ\to {ℂ}^{2\times 2},t\mapsto G(t)$, die das gegebene nicht-autonome System $u^{\prime }(t)=A(t)u(t)$ gemäß Satz 1.62 in das autonome System ${ũ}^{\prime }(t)=\mathit{Ãũ}(t)$ transformiert. Schreiben Sie $F$ in der kanonischen Form $F(t)=G{(t)}^{-1}\exp <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->((t-t_0)Ã)G(t_0)$.
(3 zusätzliche Punkte)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/jssbyvkyrq