Dynamische Systeme und Stabilität
7. Übung
Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp 31. März
2025
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die wir etwa bei der Lösung von linearen Differentialgleichungssystemen mit konstanten Koeffizienten benötigen werden. Sei . Wenn Sie es zu schwer finden, mit Matrizen zu berechnen, dürfen Sie setzen. Zeigen Sie:
eine nilpotente Matrix in Normalform. Man berechne für . (2 Punkte)
[Tipp. Man kann diese Aufgabe angehen, indem man ausrechnet.]
ein Jordan-Block zum Eigenwert . Begründen Sie, dass für . (1 Punkt)
| (20.1) |
gegeben. Seien bzw. (mit ) die (eindeutigen) Lösungen von (20.1), mit Anfangswerten
Weiter sei die zugehörige Fundamentallösung von (20.1), d.h. die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems
| (21.1) |
gegeben.
[Tipp: Zur Bestimmung von betrachte man das zweidimensionale DGL-System (21.1) als System von zwei eindimensionalen Differentialgleichungen und löse diese eine-nach-der-anderen nach den bekannten Methoden. ]
Bestimmen Sie . (2 zusätzliche Punkte)