Dynamische Systeme und Stabilität
7. Übung

Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp       31. März 2025
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18.
Die Exponentialabbildung für Matrizen
Gegenstand dieser Aufgabe ist die Exponentialabbildung (für Matrizen), das heißt die Potenzreihe
eA := exp(A) := k=0 1 k!Akfür Matrizen A n×n,

die wir etwa bei der Lösung von linearen Differentialgleichungssystemen mit konstanten Koeffizienten benötigen werden. Sei A n×n. Wenn Sie es zu schwer finden, mit n × n Matrizen zu berechnen, dürfen Sie n = 5 setzen. Zeigen Sie:

(a)
Basiswechsel. Ist C GL(n, ), so gilt exp(𝐶𝐴C1) = C exp(A) C1. (2 Punkte)
(b)
Diagonalmatrizen. Ist D = diag (c1, ,cn) mit c1,,cn eine Diagonalmatrix, so gilt exp(D) = diag (ec1, ,ecn). (2 Punkte)
(c)
Nilpotente Matrizen. Sei
N = ( 0 1 0 1 0 0 )

eine nilpotente Matrix in Normalform. Man berechne exp(t N) für t . (2 Punkte)

[Tipp. Man kann diese Aufgabe angehen, indem man N2,N3,,Nn ausrechnet.]

(d)
Jordan-Blöcke. Sei λ und
J = ( λ 1 0 1 0 λ )

ein Jordan-Block zum Eigenwert λ. Begründen Sie, dass exp(t J) = e𝜆𝑡 exp(t (J 𝜆𝟙 )) für t . (1 Punkt)

19.
Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten
Lösen Sie die folgenden linearen Anfangswertprobleme und vereinfachen Sie die Lösung so weit wie möglich.
(a)
u˙(t) = ( 5 1 0 0 5 1 0 0 5 )u(t) mit u(3) = ( 0 1 2 ). (2 Punkte)
(b)
u˙(t) = ( 3 1 1 3 )u(t) mit u(0) = ( 0 4 ). (3 Punkte)
(c)
y = y mit y(0) = 1 und y(0) = 0. (3 Punkte)
20.
Lineare Systeme und Fundamentallösung
Seien I ein Intervall, t0 I und A : I 2×2, sowie die Differentialgleichung

u˙(t) = A(t) u(t)
(20.1)

gegeben. Seien y1 bzw. y2 (mit y1,y2 : I 2) die (eindeutigen) Lösungen von (20.1), mit Anfangswerten

y1(t0) = ( 1 0 )bzw.y2(t0) = ( 0 1 ).

Weiter sei F : I 2×2 die zugehörige Fundamentallösung von (20.1), d.h. die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems

(t) = A(t) F(t),F(t0) = 𝟙.
(a)
Zeigen Sie: F(t) = (y1(t),y2(t)), wobei y1,y2 Spaltenvektoren sind, die zusammen ein Matrix bilden. (2 Punkte)
(b)
Warum ist die Determinante von F(t) nie Null? (3 Punkte)
21.
Fundamentallösung von nicht-autonomen Systemen
Es sei die (nicht-autonome) lineare Differentialgleichung

u˙(t) = A(t)u(t)fürA(t) := ( 1 t 0 2 )
(21.1)

gegeben.

(a)
Kommutieren A(t) und A(s) für ts ? (1 zusätzlicher Punkt)
(b)
Bestimmen Sie die Fundamentallösung F : 2×2 von (21.1) zum Anfangszeitpunkt t0 := 0, d.h. die Lösung von
(t) = A(t) F(t),F(0) = 𝟙. (3 zusätzliche Punkte)

[Tipp: Zur Bestimmung von F(t) betrachte man das zweidimensionale DGL-System (21.1) als System von zwei eindimensionalen Differentialgleichungen und löse diese eine-nach-der-anderen nach den bekannten Methoden. ]

(c)
Sei
M(t) =0tA(s)𝑑𝑠 = ( t 1 2t2 0 2t ).

Bestimmen Sie expM(t). (2 zusätzliche Punkte)