Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp       24. März 2025
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14.

Trennbare Differentialgleichungen.
Finden Sie die Lösungen $y(x)$ der folgenden Anfangswertprobleme mit Hilfe von Trennung der Variablen.

(a)

$y^{\prime }=\frac{x^2+1}{y}$ mit $y(0)=4$. (2 Punkte)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/gbn5q5te61

(b)

$y^{\prime }=\frac{2\mathit{𝑥𝑦}}{x^2+1}$ mit $y(0)=-1$. (3 Punkte)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/kzt4b1fbwi

(c)

$y^{\prime }=y^2+1$ mit $y(0)=0$. (2 Punkte)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/hz61y9b3sz

15.

Exakte Differentialgleichungen.

(a)

Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung

$$3x^2+4y(x)+4(x-2y(x))\cdot y^{\prime }(x)=0$$

exakt ist und bestimmen Sie eine Lösung $y$ der Differentialgleichung zum Anfangswert $y(2)=3$. (3 Punkte)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/7wny1paw0k

(b)

Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung

$$(x^2{e}^{y(x)}+1)\cdot y^{\prime }(x)+2x{e}^{y(x)}-1=0$$

exakt ist und finden Sie eine Stammfunktion. Die Lösungsfunktion $x\mapsto y(x)$ mit $y(1)=0$ ist nicht explizit angebbar. Bestimmen Sie jedoch ihre Umkehrfunktion $y\mapsto x(y)$. (4 Punkte)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/nl2gc7czlq

16.

Eulersche Multiplikatoren.
Durch die Methode des eulerschen Multiplikators erhalten wir “eine partielle Differentialgleichung, die im Allgemeinen nicht leichter zu lösen ist als die ursprüngliche Differentialgleichung.” In dieser Aufgabe untersuchen wir einen Fall, in dem die Methode effektiv ist.

(a)

Betrachte die DGL

$$x{y}^{\prime }+3y-x^3=0.$$

Welche Potenz von $x$ sollten wir diese DGL durchmultiplizieren, sodass es exakt wird? (1 Punkt)

(b)

Zeigen Sie, dass $M=\exp <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\int \; <!--\; nolimits\; -->p(x)\mathit{𝑑𝑥}\right)$ ein Eulerscher Multiplikator von die DGL

$$y^{\prime }+p(x)y+q(x)=0$$

ist, für beliebige Funktionen $p,q:ℝ\to ℝ$. (2 Punkte)

(c)

Nutzen Sie das oberen Teil, um

$$y^{\prime }+3x^{2}y=x^2.$$

zu lösen. (3 Punkte)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/xtgd5wydkb

17.

Variation der Konstanten
In dieser Aufgabe lösen wir die zweite Ordnung lineare DGL

$$y^{″}(t)-4y(t)=4e^t.$$

(17.1)

(a)

Prüfen Sie, dass $y_1(t)=e^{2t}$ und $y_2(t)=e^{-2t}$ die zugehörige homogenen DGL erfüllt:

$$y^{″}(t)-4y(t)=0.\text{(1 zusätzlicher Punkt)}$$

(b)

Nach der Methode der Variation der Konstanten sollten wir eine Lösung von (17.1) finden, die die Form $y_s(t)=A(t)y_1(t)+B(t)y_2(t)$ hat, für zu bestimmene Funktionen $A,B$. Wir dürfen (wegen der zweite Ordnung) eine zusätzliche Bedingungen für $A,B$ einführen. Der Trick ist

$$A^{\prime }{y}_1+B^{\prime }{y}_2=0$$

zu wählen. Setzen Sie $y_s$ in (17.1) ein, und zeigen Sie

$$2A^{\prime }{y}_1-2B^{\prime }{y}_2=4e^t.\text{(2 zusätzliche Punkte)}$$

(c)

Finden Sie passende $A(t),B(t)$ und dadurch alle Lösungen von (17.1). (2 zusätzliche Punkte)