Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp       17. März 2025
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11.

Ein Anfangswertproblem ohne eindeutige Lösung.
Wir betrachten die folgende Differentialgleichung

$$\dot{u}=3u^{2∕3}$$

(11.1)

und mehrere Anfangswertprobleme davon.

(a)

Zeigen Sie, dass für alle $c\in ℝ$ die Funktionen $u_c:ℝ\to ℝ$

$$u_c(t)={(t+c)}^3$$

eine Lösung von (11.1) ist. (1 Punkt)

(b)

Geben Sie zwei unterschiedlich Lösungen von (11.1) mit Anfangswert $u(0)=0$. (2 Punkte)

(c)

Welche Voraussetzungen des Satzes von Picard–Lindelöf erfüllt die Differentialgleichung (11.1) mit Anfangswert $u(0)=0$ nicht? Begründen Sie Ihre Antwort. (2 Punkte)

(d)

Beweisen Sie, dass

$$u(t)={(t+1)}^3$$

die eindeutige Lösung von (11.1) mit $u(0)=1$ auf $(-1,\infty )$. (2 Punkte)

(e)

Was ist die größte Menge $I\times U\subset ℝ\times ℝ$, auf die die DGL (11.1) die Voraussetzungen des Satzes von Peano erfüllt? (1 Punkt)

(f)

Lass uns ein allgemeines Lemma beweisen. Seien $u_1,u_2:(a,b)\to ℝ$ zwei Lösungen des Anfangswertproblems $\dot{u}=f(t,u)$ mit $u(t_0)=c$, die beide stetig differenzierbar sind. Beweisen Sie, dass

$$v(t)=\{\begin{array}{cc}{u}_1(t)\hfill & \text{für }t\le t_0\hfill \\ u_2(t)\hfill & \text{für }t>t_0\hfill \end{array}$$

auch eine stetig differenzierbare Lösung ist. (2 Punkte)

(g)

Finden Sie weitere Lösungen. (Zusätzliche Punkte je nach Verdienst)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/kk0medyc2l

12.

Globale Flüsse. Für je die zwei (globale) Flüsse $\mathrm{\Phi }:ℝ\times M\to M$ auf dem Raum $M$

• $M:={ℝ}^2,$ $\mathrm{\Phi }:(t,(x,y))\mapsto (e^{t}x,e^{t}y)$
• $M:=ℂ$, $\mathrm{\Phi }:(t,z)\mapsto e^{\mathit{𝑖𝑡}}z$

machen Sie die folgenden Aufgaben.

(a)

Zeigen Sie, dass die nach Definition 1.32 wohldefiniert sind. (2 Punkte)

(b)

Als Phasenportrait bezeichnet man die Menge aller Trajektorien eines dynamischen Systems. Skizzieren Sie die zugehörigen Phasenportraits, indem Sie einige ausgewählte Trajektorien skizzieren. (2 Punkte)

(c)

Finden Sie die Vektorfelde nach Satz 1.34. (2 Punkte)

13.

Gradientenflüsse.
Sei $H:{ℝ}^n\to ℝ$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Der negative Gradient $-\nabla <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->H$ ist ein Vektorfeld und definiert einen lokalen Fluss, einen sog. Gradientenfluss, definiert durch die Lösungen der Anfangswertprobleme

$$ẋ(t)=-\nabla <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->H(x(t)),x(0)=x_0$$

(13.1)

für gegebene $x_0\in {ℝ}^n$.

(a)

Wenn $-\nabla <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->H(x_0)=0$ ist, was ist die einfache Lösung des Anfangswertproblems? (2 Punkte)

(b)

Zeigen Sie: $H$ ist auf jeder Integralkurve des Gradientenflusses monoton fallend, d.h. $t\mapsto H(x(t))$ ist monoton fallend für eine beliebige Integralkurve $t\mapsto x(t)$. (2 Punkte)

(c)

Welche Anwendung hat der Gradientenfluss? (1 zusätzlicher Punkt)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/xfl0bwroxz