Dynamische Systeme und Stabilität
4. Übung
Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp 10. März
2025
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| (9.1) |
ein Fixpunkt der Abbildung
ist. (Sie müssen nicht beweisen, dass tatsächlich nach abbildet, weil es sehr ähnlich zu Aufgabe 8 ist und im Satz von Picard-Lindelöf bewiesen wurde.) (1 Punkt)
Der Grenzwert dieser Folge ist die Funktion
| (9.2) |
auf zu lösen. Zeigen Sie, dass der Grenzwert der Iterationsfolge das Folgende ergibt:
anwendet werden kann. Wir wissen, dass wir das Integraloperator
betrachten müssen. Diese Aufgabe handelt sich um einen besonderen Fall und zeigt die globale Existenz einer Lösung. Wir nehmen an, dass linear beschränkt ist. Das heißt: es gelte für alle
mit auf stetigen, nicht-negativen Funktionen und .
[ Das ist nicht nötig, hilft aber später. ]
einfacher aussieht. Der Trick ist nun zu erkennen, dass die linke Seite fast die Ableitung der rechten Seite ist, und daher sollte diese Ungleichung etwas mit die Exponentialfunktion zu tun haben. Wir definieren auf
Begründen Sie, dass wohldefiniert ist und . (1 Punkt)
für alle gilt. (2 Punkte)