Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp       10. März 2025
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9.

Ein Anfangswertproblem.

(a)

Sei $I=(-1.5,1.5)\subset ℝ$. Zeigen Sie, dass die Lösung des Anfangswertproblems

$$\dot{u}(t)=\frac{1}{2}u(t)+1,u(0)=0$$

(9.1)

ein Fixpunkt der Abbildung $F:C(I,ℝ)\to C(I,ℝ)$

$$\begin{array}{lll}\hfill F(u)=t+\frac{1}{2}{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{t}u(s)\mathit{𝑑𝑠}& & \hfill \end{array}$$

ist. (Sie müssen nicht beweisen, dass $F$ tatsächlich nach $C(I,ℝ)$ abbildet, weil es sehr ähnlich zu Aufgabe 8 ist und im Satz von Picard-Lindelöf bewiesen wurde.) (1 Punkt)

(b)

Begründen Sie, dass die Abbildung $F:C(I,ℝ)\to C(I,ℝ)$ die Bedingungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt. (2 Punkte)

(c)

Aus dem Banachschen Fixpunktsatz kennen wir, dass die Iterationsfolge $u_{n+1}=F(u_n)$ gegen den einzigen Fixpunkt konvergiert. Rechnen Sie explizit $u_1,u_2,u_3$ von der Iterationsfolge ${(u_n)}_{n\in \mathbb{N}}$ aus, mit Startwert $u_0(t)=0$. (3 Punkte)

Der Grenzwert dieser Folge ist die Funktion

$$u_a(t)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{t^k}{2^{k-1}k!}.$$

(d)

Wie in Teilen (a)-(c) können wir eine Iterationsfolge entwickeln, um das Anfangswertproblem

$$\dot{u}(t)=\frac{1}{2}u(t)+1,u(1)=2e^{0.5}-2=:C$$

(9.2)

auf $J=(-0.5,2.5)\subset ℝ$ zu lösen. Zeigen Sie, dass der Grenzwert der Iterationsfolge das Folgende ergibt:

$$u_b(t)=C+e^{0.5}\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^{k-1}k!}{(t-1)}^k\text{(3 zusätzliche Punkte)}$$

(e)

Prüfen Sie, dass $u_a(1)=u_b(1)$. (2 Punkte)

(f)

Wie kann man einfach eine Lösung von (9.1) oder (9.2) auf $I\cup J=(-1.5,2.5)$ schreiben?
(2 Punkte)

(g)

Erkennen Sie diese Funktionen? Können Sie sie mit elementaren Funktionen schreiben?
(2 zusätzliche Punkte)

10.

Globale Existenz von Lösungen von Anfangswertproblemen.
Sei $f:ℝ\times {ℝ}^n\to {ℝ}^n$ stetig und in der zweiten Komponente lokal Lipschitz-stetig, sodass der Satz von Picard-Lindelöf auf das Anfangswertproblem

$$\dot{u}(t)=f(t,u(t)),t\ge 0,u(0)=u_0$$

anwendet werden kann. Wir wissen, dass wir das Integraloperator

$$F(u)=u_0+{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{t}f(s,u(s))\mathit{𝑑𝑠}$$

betrachten müssen. Diese Aufgabe handelt sich um einen besonderen Fall und zeigt die globale Existenz einer Lösung. Wir nehmen an, dass $f$ linear beschränkt ist. Das heißt: es gelte für alle $(t,y)\in ℝ\times {ℝ}^n$

$$\parallel f(t,y)\parallel \le A(t)\parallel y\parallel +B(t)$$

mit auf $ℝ$ stetigen, nicht-negativen Funktionen $t\mapsto A(t)$ und $t\mapsto B(t)$.

(a)

Seien $[0,b]\subset ℝ$ ein Intervall und $u:[0,b)\to ℝ$ eine Lösung des Anfangswertproblems. Setze $A_0:=\underset{t\in [0,b)}{\sup <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}|A(t)|$ und $B_0:=\underset{t\in [0,b)}{\sup <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}|B(t)|$. Beweisen Sie für alle $t\in [0,b)$ die Ungleichung:

$$|u(t)|\le 1+|u_0|+B_{0}b+A_0{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^t|u(s)|\mathit{𝑑𝑠}\text{(2 Punkte)}$$

[ Das $1$ ist nicht nötig, hilft aber später. ]

(b)

Lass uns $v(t)=|u(t)|$ und $c=1+|u_0|+B_{0}b$ schreiben, sodass die Ungleichung

$$v(t)\le c+A_0{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{t}v(s)\mathit{𝑑𝑠}$$

einfacher aussieht. Der Trick ist nun zu erkennen, dass die linke Seite fast die Ableitung der rechten Seite ist, und daher sollte diese Ungleichung etwas mit die Exponentialfunktion zu tun haben. Wir definieren auf $[0,b)$

$$w(t)=\ln <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left[c+A_0{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{t}v(s)\mathit{𝑑𝑠}\right].$$

Begründen Sie, dass $w$ wohldefiniert ist und $w(0)=\ln <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->c$. (1 Punkt)

(c)

Zeigen Sie, dass $w^{\prime }(t)\le A_0$. (2 Punkte)

(d)

Wenden Sie der Hauptsatz von Integration an, um zu zeigen, dass

$$|u(t)|=v(t)\le c\exp <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(A_{0}t)\le c\exp <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(A_{0}b)$$

für alle $t\in [0,b)$ gilt. (2 Punkte)

(e)

Warum folgt es aus Satz 1.25, dass eine Lösung $u$ auf $[0,\infty )$ existieren muss. (3 Punkte)