Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp       3. März 2025
______________________________________________________________________________________________________________________________

6.

Babylonische Methode.

Sei $I=[2,3]$ und betrachten Sie die Funktion

$$f:I\to I,f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{5}{x}\right).$$

(a)

Zeigen Sie, dass $f(x)$ eine lipschitzstetige Abbildung ist, mit Lipschitzkonstante $L=2∕9$. Das heißt, zeigen Sie für alle $x,y\in I$

$$|f(x)-f(y)|\le \frac{2}{9}|x-y|.\text{(2 Punkte)}$$

[Tipp. Beweisen Sie zuerst, dass

$$-\frac{1}{8}\le \frac{1}{2}-\frac{5}{2}\frac{1}{\mathit{𝑥𝑦}}\le \frac{2}{9}$$

gilt.]

(b)

Berechnen Sie $f(2)$, $f(f(2))$ und $f(f(f(2)))$. Erkennen Sie diese Zahl? (1 Punkt)

(c)

Lösen Sie $x=f(x)$, um den Fixpunkt der Funktion $f(x)$ zu bestimmen. (2 Punkte)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/2sqzjvqrdt

7.

Lipschitz-Stetigkeit.
Often spricht man über die Regularität einer Funktion: ist es stetig, beschränkt, differenzierbar? In dieser Aufgabe vergleichen wir Lipschitz-Stetigkeit mit anderen Bedingungen. Sei $I=[a,b]\subset ℝ$ und $f:I\to ℝ$.

(a)

Beweisen Sie: $f$ ist lipschitzstetig $\Rightarrow$ $f$ ist stetig. (2 Punkte)

(b)

Nehmen Sie an, dass $f$ auf $(a,b)$ differenzierbar ist und dass $|f^{\prime }|$ von oben durch eine Konstante $L$ beschränkt ist. Beweisen Sie, dass $f$ lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante $L$ ist. (2 Punkte)

[Tipp. Benutze den Mittelwertsatz. ]

(c)

Wenn $f$ stetig differenzierbar ist und ihr Definitionsbereich kompakt ist, warum erfüllt $f$ die Voraussetzungen aus Teil (b)? (1 Punkt)

(d)

Nun sei $U={[a,b]}^2\subset {ℝ}^2$ und $g:U\to ℝ$. Nehmen Sie an, dass es ein $L$ gibt, sodass $g$ in jeder Variable lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante $L$ ist. Zum Beispiel: für alle $x_1,y_1\in [a,b]$ und $c_2\in [a,b]$ gilt

$$|f(y_1,c_2)-f(x_1,c_2)|\le L|y_1-x_1|.$$

Zeigen Sie, dass $f$ lipschitzstetig auf $U$ mit Lipschitzkonstante $\sqrt{2}L$ ist. (3 Punkte)

[Tipp. $f(y_1,y_2)-f(x_1,x_2)=\left(f(y_1,y_2)-f(x_1,y_2)\right)+\left(f(x_1,y_2)-f(x_1,x_2)\right)$ und $|x|+|y|\le \sqrt{2}\parallel (x,y)\parallel$. ]

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/6obhqannyn

8.

Ein Integraloperator.
Betrachte die Funktion $y_{\text{lösung}}(t)=3\exp <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(t^2)$, die das Anfangswertproblem auf $[-10,10]$

$$y^{\prime }(t)=2ty(t),y(0)=3$$

löst.

(a)

Wie kann man dieses Anfangswertproblem in die folgende Integralgleichung umstellen? (2 Punkte)

$$y(t)=3+{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{t}2sy(s)\mathit{𝑑𝑠}.$$

(8.1)

(b)

Prüfen Sie durch Substitution, dass $y_{\text{lösung}}(t)$ tatsächlich die Integralgleichung (8.1) löst.
(1 Punkt)

(c)

Wir definieren $F(y)=3+{\int }_0^{t}2sy(s)\mathit{𝑑𝑠}$, eine Funktion auf Funktionen nach Funktionen. Weil das integral für alle stetige Funktionen wohldefiniert ist, können wir $X:=C([-10,10])$ als Definitionsbereich von $F$ wählen. Beweisen Sie: für jeder $y\in X$ liegt auch $F(y)$ in $X$. (2 Punkte)

(d)

Wir sollten auf $X$ eine Norm setzen. Eine Möglichkeit ist die Supremumsnorm:

$$\parallel f{\parallel }_{\infty }:=\underset{t\in [-10,10]}{\max <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}|f(t)|$$

Beweisen Sie, dass $F:X\to X$ eine lipschitzstetige Funktion ist. (2 Punkte)

Desmos Demo: https://www.desmos.com/calculator/zr7smat5ba