Dynamische Systeme und Stabilität
3. Übung

Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp       3. März 2025
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6.
Babylonische Methode.

Sei I = [2,3] und betrachten Sie die Funktion

f : I I,f(x) = 1 2 (x + 5 x ).
(a)
Zeigen Sie, dass f(x) eine lipschitzstetige Abbildung ist, mit Lipschitzkonstante L = 29. Das heißt, zeigen Sie für alle x,y I
|f(x) f(y)| 2 9|x y|. (2 Punkte)

[Tipp. Beweisen Sie zuerst, dass

1 8 1 2 5 2 1 𝑥𝑦 2 9

gilt.]

(b)
Berechnen Sie f(2), f(f(2)) und f(f(f(2))). Erkennen Sie diese Zahl? (1 Punkt)
(c)
Lösen Sie x = f(x), um den Fixpunkt der Funktion f(x) zu bestimmen. (2 Punkte)


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7.
Lipschitz-Stetigkeit.
Often spricht man über die Regularität einer Funktion: ist es stetig, beschränkt, differenzierbar? In dieser Aufgabe vergleichen wir Lipschitz-Stetigkeit mit anderen Bedingungen. Sei I = [a,b] und f : I .
(a)
Beweisen Sie: f ist lipschitzstetig f ist stetig. (2 Punkte)
(b)
Nehmen Sie an, dass f auf (a,b) differenzierbar ist und dass |f| von oben durch eine Konstante L beschränkt ist. Beweisen Sie, dass f lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante L ist. (2 Punkte)

[Tipp. Benutze den Mittelwertsatz. ]

(c)
Wenn f stetig differenzierbar ist und ihr Definitionsbereich kompakt ist, warum erfüllt f die Voraussetzungen aus Teil (b)? (1 Punkt)
(d)
Nun sei U = [a,b]2 2 und g : U . Nehmen Sie an, dass es ein L gibt, sodass g in jeder Variable lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante L ist. Zum Beispiel: für alle x1,y1 [a,b] und c2 [a,b] gilt
|f(y1,c2) f(x1,c2)| L|y1 x1|.

Zeigen Sie, dass f lipschitzstetig auf U mit Lipschitzkonstante 2L ist. (3 Punkte)

[Tipp. f(y1,y2) f(x1,x2) = (f(y1,y2) f(x1,y2)) + (f(x1,y2) f(x1,x2)) und |x| + |y|2(x,y). ]


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8.
Ein Integraloperator.
Betrachte die Funktion ylösung(t) = 3exp(t2), die das Anfangswertproblem auf [10,10]
y(t) = 2ty(t),y(0) = 3

löst.

(a)
Wie kann man dieses Anfangswertproblem in die folgende Integralgleichung umstellen? (2 Punkte)

y(t) = 3 +0t2sy(s)𝑑𝑠.
(8.1)

(b)
Prüfen Sie durch Substitution, dass ylösung(t) tatsächlich die Integralgleichung (8.1) löst.
(1 Punkt)
(c)
Wir definieren F(y) = 3 + 0t2sy(s)𝑑𝑠, eine Funktion auf Funktionen nach Funktionen. Weil das integral für alle stetige Funktionen wohldefiniert ist, können wir X := C([10,10]) als Definitionsbereich von F wählen. Beweisen Sie: für jeder y X liegt auch F(y) in X. (2 Punkte)
(d)
Wir sollten auf X eine Norm setzen. Eine Möglichkeit ist die Supremumsnorm:
f := max t[10,10]|f(t)|

Beweisen Sie, dass F : X X eine lipschitzstetige Funktion ist. (2 Punkte)


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