Dynamische Systeme und Stabilität
1. Übung

Martin Schmidt, Ross Ogilvie, Noah Schepp       17. Februar 2025
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1.
Zeitdiskrete dynamische Systeme
Ein zeitdiskretes dynamisches System ist eine stetige Abbildung
Φ : 0 × M M,

wobei M ein metrischer Raum ist (hier typischerweise der n), und für deren Familie von Abbildungen

Φt : M M,Φt(m) := Φ(t,m)(t 0)

gilt, dass

Φ0 = 𝟙  und Φt1+t2 = Φt2 Φt1(t1,t2 0).
(a)
Sei A : M M eine stetige Abbildung. Zeigen Sie, dass die Abbildung Φ : 0 × M M
Φ(t,m) := At(m)

ein zeitdiskretes dynamisches System definiert. At(m) bedeutet die t-fachen Anwendung von A auf m, z.B. A2(m) = A(A(m)), und per Konvention ist A0(m) = m. (2 Punkte)

(b)
Sei Φ : 0 × M M ein zeitdiskretes dynamisches System. Beweisen sie durch Induktion, dass Φt(m) = At(m), wobei A(m) = Φ1(m) = Φ(1,m). (2 Punkte)

Bemerkung. Deshalb haben alle zeitdiskreten dynamischen Systeme die Form von (a).

(c)
Was ist die Definition von Orbit? (1 Punkt)
(d)
Betrachten Sie die Fibonacci-Folge, definiert durch
a0 := 0,a1 := 1 und an+1 := an + an1,n 1.

Wir können die als eine zeitdiskrete dynamische System beschreiben. Seien M = 2 und A : 2 2 die lineare Abbildung mit Matrix

A = ( 0 1 1 1 ), und m0 = ( 0 1 ).

Berechnen Sie A(m0), A2(m0), A3(m0) und A4(m0). Was ist der Zusammenhang mit der Fibonacci-Folge? Warum muss M 2-dimensional sein? (5 Punkte)


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(e)
Geben Sie eine explizite Formel für den Zustand des Systems von (d) zum Zeitpunkt n an (3 Punkte)

[Tipp: Diagonalisieren Sie die lineare Abbildung A, um ihre Potenz zu berechnen. ]

(f)
Sei l 0 und f : l+1 eine stetige Abbildung und (an)n0 eine rekursiv definierte Folge, für die gilt:
a0,,al sind vorgegeben und an+1 := f(anl,,an) für n l.

Zeigen Sie, dass sich obige Rekursion als ein zeitdiskretes dynamisches System darstellen lässt. (2 Punkte)

2.
Periodische Orbits.
Sei α [0,1) gegeben. Definieren wir das zeitdiskrete dynamische System Φ : × S1 S1 durch
(n,z)Φ(n,z) := e2𝜋𝑖𝛼𝑛z.

Hierbei wird der Phasenraum M := S1 = {z |z| = 1} mit den komplexen Zahlen vom Betrag 1 identifiziert.

(a)
Was bedeutet periodisch? (1 Punkt)
(b)
Zeigen Sie für α [0,1), dass jeder Orbit periodisch ist. (2 Punkte)
(c)
Nehmen wir an, dass es z0 S1 mit periodischem Orbit gibt. Zeigen Sie, dass α .
(2 Punkte)


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